已知函数f（x）=13x3-12x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜16d2+2d恒成立，求

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，求d的取值范围．

答案

解（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d，
∴f′（x）=x²-x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x²-x+c=0有两个实数解，
从而△=1-4c＞0，
∴c＜

1

4

．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+d，
∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值

7

6

+d，
∵x＜0时，f（x）＜

1

6

d2+2d恒成立，
∴

7

6

+d＜

1

6

d2+2d，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．