设函数f（x）=x2+bln（x+1），（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的
题型：眉山二模难度：来源：
设函数f（x）=x2+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围． |
答案
（1）由x+1＞0得x＞-1
∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，
f/(x)=2x+，∴2+=0，
解得b=-4．
（2）∵f/(x)=2x+=，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
若f′（x）≥0，
∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x2-2x=-2(x+)2+恒成立，由此得b≥；
若f′（x）≤0，
∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，
因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[，+∞)．
故答案为：（1）b=-4；（2）实数b的取值范围是[，+∞)． |
举一反三
| 函数y=x2-x3的单调增区间为______，单调减区间为______． |
已知函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点．
（I）证明：-27＜c＜5；
（II）若存在实数c，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围． |
| 已知曲线f（x）=在x=1处的切线斜率为，且函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，则实数m的取值范围是______． |
| 若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在R上是增函数，则a，b，c的关系式为是 ______． |
已知函数f（x）=x3-x2+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围． |
最新试题
热门考点