函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1.(Ⅰ)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f (x)的
题型:渭南二模难度:来源:
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1. (Ⅰ)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f (x)的表达式; (Ⅱ)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上最大值; (Ⅲ)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围. |
答案
解(Ⅰ)
| 由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f′(x)=3x2+2ax+b | 过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为: | y-f(1)=f′(1)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1) | 而过y=f(x)上P(1,f(1))的切线方程为:y=3x+1 | 故,即 | ∵y=f(x)在x=-2时有极值,故f′(-2)=0 | ∴-4a+b=-12…(3) | 由(1)(2)(3)相联立解得a=2,b=-4,c=5 | f(x)=x3+2x2-4x+5…(4分) |
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(Ⅱ)f"(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)
x | [-3,-2) | -2 | (-2,) | | (,1] | f"(x) | + | 0 | - | 0 | + | f(x) | | 极大 | | 极小 | |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)在x=-2处取极值为1,则ab=______. | 已知函数f(x)=1+3x-x3 (1)求函数的单调递减区间; (2)求函数的极大值和极小值. | 已知函数f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a>0. (Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值; (Ⅱ)是否存在正实数a,使对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由. | 已知函数f(x)=x4+ax2+b的图象在点(1,f(1))处与直线y=-4x+2相切. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间. (Ⅲ)求函数f(x)在区间[-m,m](m>0)上的最大值和最小值. | 设函数f(x)=x2+bln(x+1), (1)若对定义域的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值; (2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围. |
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