已知函数f(x)=2(x2-2ax)lnx-x2+4ax+1,(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(e,f(e))处的切线方程(e是自然对数的底数);(2)求
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已知函数f(x)=2(x2-2ax)lnx-x2+4ax+1, (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(e,f(e))处的切线方程(e是自然对数的底数); (2)求函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)∵f(x)=2(x2-2ax)lnx-x2+4ax+1, ∴a=0时,f(x)=2x2lnx-x2+1, ∴x>0,f′(x)=4xlnx, k=f′(e)=4e,f(e)=e2+1, ∴曲线y=f(x)在(e,f(e))处的切线方程y-e2-1=4e(x-e), 整理得:y=4ex-3e2+1; (2)∵f(x)=2(x2-2ax)lnx-x2+4ax+1, ∴x>0,f′(x)=(4x-4a)lnx+2x-4a-2x+4a=(4x-4a)lnx, 由f′(x)=0,得x=0,或x=1. 当a≤0时,由f′(x)>0,得x>1;由f′(x)<0,得0<x<1, ∴f(x)在(0,1)上减,在(1,+∞)上增; 当0<a<1时, 由f′(x)>0,得x>1或0x<a;由f′(x)<0,得a<x<1, ∴f(x)在(a,1)上减,在(0,a),(1,+∞)上增; a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无减区间; a>1时, 由f′(x)>0,得x>a,或0<x<1;由f′(x)<0,得1<x<a, ∴f(x)在(0,1),(a,+∞)上增,在(1,a)上减. |
举一反三
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1. (Ⅰ)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f (x)的表达式; (Ⅱ)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上最大值; (Ⅲ)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)在x=-2处取极值为1,则ab=______. |
已知函数f(x)=1+3x-x3 (1)求函数的单调递减区间; (2)求函数的极大值和极小值. |
已知函数f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a>0. (Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值; (Ⅱ)是否存在正实数a,使对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=x4+ax2+b的图象在点(1,f(1))处与直线y=-4x+2相切. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间. (Ⅲ)求函数f(x)在区间[-m,m](m>0)上的最大值和最小值. |
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