(1)∵f(x)=lnx+,∴f′(x)=-. ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴f′(x)=-≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≤在[2,+∞)上恒成立. 令g(x)=,则a≤[g(x)]min,x∈[2,+∞). ∵g(x)=在[2,+∞)上是增函数,∴[g(x)]min=g(2)=1. ∴a≤1. 所以实数a的取值范围为(-∞,1]. (2)由(1)得f′(x)=,x∈[1,e]. ①若2a<1,则x-2a>0,即f"(x)>0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是增函数. 所以[f(x)]min=f(1)=2a=3,解得a=(舍去). ②若1≤2a≤e,令f"(x)=0,得x=2a. 当1<x<2a时,f"(x)<0,所以f(x)在(1,2a)上是减函数, 当2a<x<e时,f"(x)>0,所以f(x)在(2a,e)上是增函数. 所以[f(x)]min=f(2a)=ln(2a)+1=3,解得a=(舍去). ③若2a>e,则x-2a<0,即f"(x)<0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上是减函数. 所以[f(x)]min=f(e)=1+=3,所以a=e. 综上所述,a=e. |