已知函数f(x)=lnx+1x-1(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈R,对任意的a∈(-l,1),总存在xo∈[1,e],使得不等式ma-(xo)<0

已知函数f(x)=lnx+1x-1(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈R,对任意的a∈(-l,1),总存在xo∈[1,e],使得不等式ma-(xo)<0

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=lnx+
1
x
-1

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈R,对任意的a∈(-l,1),总存在xo∈[1,e],使得不等式ma-(xo)<0成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:ln2l+1n22+…+ln2n>
(n-1)4
4n3
(n≥2,n∈N*)
答案
(Ⅰ)f′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2
,x>0.
令f′(x)>0,得x>1,因此函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
令f′(x)<0,得0<x<1,因此函数f(x)的单调递减区间是(0,1).…(4分)
(Ⅱ)依题意,ma<f(x)max
由(Ⅰ)知,f(x)在[1,e]上是增函数,
∴f(x)max=f(e)=lne+
1
e
-1=
1
e

∴ma<
1
e
,即ma-
1
e
<0对于任意的a∈(-1,1)恒成立.





m×1-
1
e
≤0
m×(-1)-
1
e
≤0
解得-
1
e
≤m≤
1
e

所以,m的取值范围是[-
1
e
1
e
].…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
故f(x)=lnx+
1
x
-1≥f(1)=0,
∴lnx≥1-
1
x
,以x2替代x,得lnx2≥1-
1
x2

∴ln2l+1n22+…+ln2n>1-
1
12
+1-
1
22
+…+1-
1
n2

即ln2l+1n22+…+ln2n>n-(
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
).
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
<1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)

∴-(
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
)>-[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]
∴n-(
1
12
+
1
22
+…+
1
n2
)>n-[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]=n-[1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
]=
(n-1)2
n

∴ln1+ln2+…+lnn>
(n-1)2
2n

由柯西不等式,
(ln2l+1n22+…+ln2n)(12+12+…+12)≥(ln1+ln2+…+lnn)2
∴ln2l+1n22+…+ln2n≥
1
n
(ln1+ln2+…+lnn)2
(n-1)4
4n3
(n≥2,n∈N*)

∴ln2l+1n22,+…+ln2 n>
(n-1)4
4n3
(n≥2,n∈N*)
.…(14分)
举一反三
设函数f(x)=lnx-2ax.
(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3+mx2-3m2x+1
,m∈R.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=mx-
m-1
x
-lnx(m∈R),g(x)=
1
x
+lnx

(I)求g(x)的极小值;
(II)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求m的取值范围;
(III)设h(x)=
2e
x
,若在[1,e]
(e是自然对数的底数)上至少存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围.
题型:月湖区模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x(a∈R),f′(x)为f(x)的导数.
(1)当a=-3时,求y=f(x)的单调区间和极值;
(2)设g(x)=
19
6
x-
1
3
,是否存在实数x1=-
1
3
,对于任意的x1∈[-1,1],存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立?若存在,求出
1
3
≤h(x1)≤6
的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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