(Ⅰ)由题意,x>0,g′(x)=, ∴当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0, 所以,g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故g(x)极小值=g(1)=1. …(4分) (Ⅱ)∵y=f(x)-g(x)=mx--2lnx, ∴y′=, 由于f(x)-g(x)在[1,+∞)内为单调增函数, 所以mx2-2x+m≥0在[1,+∞)上恒成立,即m≥在[1,+∞)上恒成立, ∵()max=1, ∴m的取值范围是[1,+∞). …(8分) (III)当x=1时,f(1)-g(1)<h(1). 当x∈(1,e]时,由f(x)-g(x)>h(x),得m>,令G(x)=, 则G′(x)=(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2) | (x2-1)2 | <0, 所以G(x)在(1,e]上递减,G(x)min=G(e)=. 综上,要在[1,e]上存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,必须且只需m>. |