设函数f(x)=lnx-2ax.(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;(2)当a
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设函数f(x)=lnx-2ax. (1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值; (2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)依题意有,f′(x)=-2a. 因此过(1,f(1))点的直线的斜率为1-2a,又f(1)=-2a, 所以,过(1,f(1))点的直线方程为y+2a=(1-2a)(x-1). 即(2a-1)x+y+1=0 又已知圆的圆心为(-1,0),半径为1, 依题意,=1, 解得a=. (2)依题知f(x)=lnx-2ax的定义域为(0,+∞), 又知f′(x)=-2a 因为a>0,x>0,令-2a>0,则1-2ax>0 所以在x∈(0,)时,f(x)=lnx-2ax是增函数; 在x∈(,+∞)时,f(x)=lnx-2ax是减函数. |
举一反三
函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区间是______. |
已知函数f(x)=x3+mx2-3m2x+1,m∈R. (1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=mx--lnx(m∈R),g(x)=+lnx. (I)求g(x)的极小值; (II)若y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调增函数,求m的取值范围; (III)设h(x)=,若在[1,e](e是自然对数的底数)上至少存在一个x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x(a∈R),f′(x)为f(x)的导数. (1)当a=-3时,求y=f(x)的单调区间和极值; (2)设g(x)=x-,是否存在实数x1=-,对于任意的x1∈[-1,1],存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立?若存在,求出≤h(x1)≤6的取值范围;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x)=2(x2-2ax)lnx-x2+4ax+1, (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(e,f(e))处的切线方程(e是自然对数的底数); (2)求函数f(x)的单调区间. |
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