已知f（x）=2x-ax2+2（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数．（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=1x的两个非零实根为x1、x

题型：福建难度：来源：

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）f"（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f"（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x²-ax-2，
方法一：φ
①⇔

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

⇔-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f"（-1）=0以及当a=-1时，f"（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：
①⇔

a 2 ≥0 φ(-1)=1+a-2≤0

或

a 2 ＜0 φ(1)=1-a-2≤0

⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1．
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f"（-1）=0以及当a=-1时，f"（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
从而|x₁-x₂|=

(  x1+x2)2- 4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②⇔g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②⇔m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．