已知函数f(x)=x-2x+a(2-lnx),其中a≠0,讨论函数f(x)在定义域内的单调性.

已知函数f(x)=x-2x+a(2-lnx),其中a≠0,讨论函数f(x)在定义域内的单调性.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x-
2
x
+a(2-lnx)
,其中a≠0,讨论函数f(x)在定义域内的单调性.
答案
f′(x)=
x2-ax+2
x2
=
1
x
(x+
2
x
-a),x>0

a≤2


2
时,x+
2
x
≥2


2
≥a

∴f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上递增.
a>2


2
时,解f′(x)=0得x1=
a-


a2-8
2
x2=
a+


a2-8
2

当0<x<x1或x>x2时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,x1],[x2,+∞)上递增;
当x1<x<x2时,f′(x)<0,
∴f(x)在[x1,x2]上递减.
综上,当a≤2


2
时,f(x)在(0,+∞)上递增;
a>2


2
时,f(x)在(0,
a-


a2-8
2
],[
a+


a2-8
2
,+∞)
上递增,
[
a-


a2-8
2
a+


a2-8
2
]
上递减.
举一反三
已知函数f(x)=
x
x2+b
,其中b∈R.
(Ⅰ)f(x)在x=-1处的切线与x轴平行,求b的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
题型:门头沟区一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx+
2a
x
, a∈R

(1)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3,求实数a的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2lnx-x2(x>0),求函数f(x)的单调区间与最值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx+
1
x
-1

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈R,对任意的a∈(-l,1),总存在xo∈[1,e],使得不等式ma-(xo)<0成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)证明:ln2l+1n22+…+ln2n>
(n-1)4
4n3
(n≥2,n∈N*)
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=lnx-2ax.
(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线l,且直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
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