已知函数f（x）=xx2+b，其中b∈R．（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

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已知函数f（x）=xx2+b，其中b∈R．（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

题型：门头沟区一模难度：来源：
已知函数f（x）=
x
x2+b
，其中b∈R．
（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
答案
（Ⅰ）由题意f（x）=
x
x2+b
，故f′（x）=
x2+b-x•2x
(x2+b)2
=
b-x2
(x2+b)2
…（2分）
依题意，由f′（-1）=
b-1
(1+b)2
=0，得b=1．…（4分）
经检验，b=1符合题意．…（5分）
（Ⅱ）①当b=0时，f（x）=
1
x
．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（0，+∞）；无单调增区间． …（6分）
②当b＞0时，f′（x）=
b-x2
(x2+b)2
．令f′（x）=0，得x1=-


b
，x2=


b
…（8分）
故f（x）和f′（x）的情况如下：
举一反三
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x（-∞，-


b
）		-


b
（-


b
，


b
）


b
（


b
，+∞）
f′（x）-0+0-
f（x）↘极小值↗极大值↘
已知函数f(x)=lnx+
2a
x
， a∈R．
（1）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．
已知函数f（x）=2lnx-x2（x＞0），求函数f（x）的单调区间与最值．
已知函数f（x）=lnx+
1
x
-1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma-（xo）＜0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln2l+1n22+…+ln2n＞
(n-1)4
4n3
(n≥2，n∈N*)．
设函数f（x）=lnx-2ax．
（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为直线l，且直线l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．
函数f（x）=2x2-lnx的单调递减区间是______．