已知函数f(x)=lnx-x-1x．（1）判定函数f（x）的单调性；（2）设a＞1，证明：lnaa-1＜1a．

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=lnx-

x-1

x

．
（1）判定函数f（x）的单调性；
（2）设a＞1，证明：

lna

a-1

＜

1

a

．

答案

（1）f′（x）=

1

x

-

x -  1 2 x (x-1)

x

=

2 x -x-1

x x

，x∈（0，+∞）
当2

x

-x-1≤0，即4x≤（x+1）²，即（x-1）²≥0，x∈（0，+∞）时f′（x）≤0恒成立，
所以f（x）在区间上（0，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）得函数是单调减函数，
因为a＞1，所以得到f（a）＜f（1）即lna-

a-1

a

＜0，即lna＜

a-1

a

即

lna

a-1

＜

1

a

．