已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+ax，且g（x）在区间（0

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）+

a

x

，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），
点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）图象上．
∴2-y=-x+

1

-x

+2．
∴y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

．
（2）g（x）=x+

a+1

x

，
∵g′（x）=1-

a+1

x2

，g（x）在（0，2]上递减，
∴1-

a+1

x2

≤0在x∈（0，2]时恒成立，
即a≥x²-1在x∈（0，2）时恒成立．
∵x∈（0，2]时，（x²-1）_max=3，
∴a≥3．