已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+ax，且g（x）在区间（0

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已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）+

，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），
点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）图象上．
∴2-y=-x+

-x

+2．
∴y=x+

，即f（x）=x+

．
（2）g（x）=x+

a+1

，
∵g′（x）=1-

a+1

，g（x）在（0，2]上递减，
∴1-

a+1

≤0在x∈（0，2]时恒成立，
即a≥x²-1在x∈（0，2）时恒成立．
∵x∈（0，2]时，（x²-1）_max=3，
∴a≥3．

举一反三

已知函数f（x）=x-alnx+

在x=1处取得极值．
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．

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设x=-

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若方程

f(-a)+f(a)

f（x）=在区间[-a，a]（a＞0）上恰有两个不同的实根，求a的取值范围．

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函数f（x）=x³-3x²+2是减函数的区间是 ______．

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已知函数f(x)=

x3+

ax2+ax+1存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求证：函数f（x）的导函数f′（x）在（-2，0）上是单调函数；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），若直线AB的斜率不小于-2，求实数a的取值范围．

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已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=

的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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