点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=1x于点A,连接OA并延长,与双曲线y=1x交于点F,FH垂直于x轴,垂足为点H,连接AH、PF

点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=1x于点A,连接OA并延长,与双曲线y=1x交于点F,FH垂直于x轴,垂足为点H,连接AH、PF

题型:不详难度:来源:
点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=
1
x
于点A,连接OA并延长,与双曲线y=
1
x
交于点F,FH垂直于x轴,垂足为点H,连接AH、PF.

(1)如图①,当点A的横坐标为
3
2
时,求四边形APFH的面积.
(2)如图②,当点P在x轴的正方向上运动到点D,过点D作x轴的垂线交双曲线于点B,连接BO并延长,与双曲线y=
1
x
交于点F,FH垂直于x轴,垂足为点H,连接BH、DF,求四边形BDFH的面积.
(3)若双曲线的解析式为y=
k
x
,四边形BDFH的面积为______.(直接写出答案)
答案
(1)如图①,根据反比例函数图象的性质知道A、F关于原点对称,
而FH垂直于x轴,AP⊥x轴,
∴H、P关于原点对称,
∴四边形APFH的面积是△APO的四倍,
设A的坐标为(x,y)(x>0,y>0),
则xy=1,
而△APO的面积=
1
2
xy=
1
2

∴四边形APFH的面积是4×
1
2
=2;

(2)如图②,当点P在x轴的正方向上运动到点D,过点D作x轴的垂线交双曲线于点B,连接BO并延长,与双曲线y=
1
x
交于点F,FH垂直于x轴,垂足为点H,连接BH、DF,
那么同样得B、F关于原点对称,D、H 关于原点对称,
∴四边形BDFH的面积是△OBD的面积的4倍,
而△OBD的面积同样为
1
2

∴四边形BDFH的面积是2;

(3)若双曲线的解析式为y=
k
x
,四边形BDFH的面积为2|k|.
故答案为:2|k|.
举一反三
如图,反比例函数y=
k
x
的图象经过点P,则k=______.
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如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=2,
OB=4,P为线段AB的中点,反比例函数y=
k
x
的图象经过P点,Q是该反比例函数图象上异于点P的另一点,经过点Q的直线交x轴于点C,交y轴于点D,且QC=QD.下列结论:①k=2;②S△COD=4;③OP=OQ;④ADCB.其中正确结论的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

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如图,反比例函数y=
k
x
(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为______.
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某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,如图所示,则用气体体积V表示气压p的函数解析式为(  )
A.p=
120
v
B.p=-
120
v
C.p=
96
v
D.p=-
96
v

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如图,已知反比例函数y=
k1
2x
的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A,B两点,A(1,n),B(-
1
2
,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,请你直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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