设函数f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2时取得极值.(ln2≈0.7)(1)求a、b的值;(2)求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值.
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设函数f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2时取得极值.(ln2≈0.7)(1)求a、b的值;(2)求函数f(x)在[12,2]上的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x)=ax
2
+2x+blnx在x=1和x=2时取得极值.(ln2≈0.7)
(1)求a、b的值;
(2)求函数f(x)在
[
1
2
,2]
上的最大值和最小值.
答案
定义域为(0,+∞),
f′(x)=2ax+2+
b
x
(1)由
f′(1)=2a+2+b=0
f′(2)=4a+2+
b
2
=0
,解得
a=-
1
3
,b=-
4
3
经检验
a=-
1
3
,b=-
4
3
符合题意
(2)
f′(x)=-
2
3
x+2-
4
3x
=
-2(x-1)(x-2)
3x
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下
x
1
2
(
1
2
,1)
1
(1,2)
2
f"(x)
-
+
f(x)
11
12
+
4
3
ln2
↘
5
3
↗
8
3
-
4
3
ln2
举一反三
设f(x)=x
3
-kx(k>0).
(1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若函数f(x)=x
3
-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数,
(Ⅰ)求证:0<k≤3;(Ⅱ)设x
0
≥1,f(x
0
)≥1,且满足f(f(x
0
))=x
0
,求证:f(x
0
)=x
0
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
2
x
2
+(
3
4
a
2
+
1
2
a)lnx-2ax
,a∈R.
(Ⅰ)当a=
-
1
2
时,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单调区间上也是单调的,求a的取值范围;
(Ⅲ) 当0<a<
1
8
时,设g(x)=f(x)-(
3
4
a
2
+
1
2
a+1
)lnx-(a+
1
2
)x
2
+(2a+1)x,且x
1
,x
2
是函数g(x)的极值点,证明:g(x
1
)+g(x
2
)>3-2ln2.
题型:铁岭模拟
难度:
|
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函数y=4x
2
-mx+5在区间[2,+∝)上是增函数,在区间(-∞,2]上是减函数,则m的值为______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=x
3
+x
2
-5x-5的单调递增区间是______
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
2
x
+
2
2
x
-1
,x∈[0,+∞)
(1)证明:函数在
[0,
1
2
]
上为单调减函数,在
[
1
2
,+∞)
上为单调增函数;
(2) 若x∈[0,a],求f(x)的最大最小值.
题型:不详
难度:
|
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