已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).(Ⅰ)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围;(Ⅱ)当1e<x<

已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).(Ⅰ)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围;(Ⅱ)当1e<x<

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已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0).
(Ⅰ)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当
1
e
<x<y<1时,试比较
y
x
1+lny
1+lnx
的大小;
(Ⅲ)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ) 由f(1)=2,得a=1…(2分)
∵x>0,∴x2+x-xlnx)≥bx2+2x恒成立等价于b≤1-
1
x
-
lnx
x

令g(x)=1-
1
x
-
lnx
x
,可得g′(x)=
lnx
x2

∴x∈(0,1]时,g′(x)≤0
∴g(x)在(0,1]上递减,
在[1,∞)上递增,所以g(x)min=g(1)=0,
即b≤0…(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)在(0,1]上递减,
1
e
<x<y<1时,g(x)>g(y)即
1+lnx
x
1+lny
y
 …(6分)
1
e
<x<y<1时,-1<lnx<0,
∴1+lnx>0,
y
x
1+lny
1+lnx
;…(9分)
(Ⅲ)f′(x)=2ax-lnx,(x>0),
令f′(x)≥0得:2a≥
lnx
x

设h(x)=
lnx
x
(x>0),则h′(x)=
1-lnx
x2

h′(x)=
1-lnx
x2
>0
,则0<x<e;令h′(x)=
1-lnx
x2
<0
,可得x>e
∴当x=e时,h(x)max=
1
e

∴当a≥
1
2e
时,函数f(x)在(0,+∞)单调递增          …(11分)
若0<a<
1
2e
g(x)=2ax-lnx,(x>0),g′(x)=2a-
1
x
g′(x)=0,x=
1
2a
,x∈(0,
1
2a
),g′(x)<0;x∈(
1
2a
,+∞),g′(x)>0

x=
1
2a
时,取得极小值,即最小值.
当0<a<
1
2e
时,g(
1
2a
)=1-ln
1
2a
<0,f"(x)=0必有根,f(x)必有极值,在定义域上不单调…(13分)
∴a≥
1
2e
                                         …(14分)
举一反三
求函数y=3x+
3
x
的单调区间.
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已知函数f(x)=x3-3ax,
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=1时,求证:直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线.
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(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[
1
e
,e])
的值域.
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已知函数f(x)=-
1
3
x3+bx2-3a2x(a≠0)
在x=a处取得极值.
(Ⅰ)求
b
a

(Ⅱ)设函数g(x)=2x3-3af′(x)-6a3,如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围.
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已知f(x)=2lnx+
ax
x+1
(x>0)

(1)若a=-8,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在定义域上有两个极值点x1,x2(x1≠x2),求证:f(x1)+f(x2)≥
f(x)+2
x
-2
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