已知函数f(x)=x3-3ax,(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=1时,求证:直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线.
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已知函数f(x)=x3-3ax, (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=1时,求证:直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线. |
答案
(1)∵f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a≤0时,f′(x)=3x2-3a≥0对x∈R恒成立, ∴f(x)的递增区间为(-∞,+∞). 当a>0时,由f′(x)>0,得x<-或x>, 由f′(x)<0,得-<x<. 此时,f(x)的递增区间是(-∞,-)和(,+∞); 递减区间是(-,). (2)证明:∵a=1,∴f′(x)=3x2-3. 直线4x+y+m=0的斜率为-4,假设f′(x)=-4,即3x2+1=0. 此方程无实根,∴直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线. |
举一反三
(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数). (1)求实数b的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[,e])的值域. |
已知函数f(x)=-x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值. (Ⅰ)求; (Ⅱ)设函数g(x)=2x3-3af′(x)-6a3,如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围. |
已知f(x)=2lnx+(x>0). (1)若a=-8,判断f(x)在定义域上的单调性; (2)若f(x)在定义域上有两个极值点x1,x2(x1≠x2),求证:f(x1)+f(x2)≥-2. |
函数y=x3-x2-x的单调增区间为______. |
已知函数f(x)=(x2-a)ex,其中a≥3,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. |
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