(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).(1)求实数b的值;(2)求函数f

(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).(1)求实数b的值;(2)求函数f

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(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[
1
e
,e])
的值域.
答案
(1)由f(e)=-ae+b+aelne=b,且f(e)=2,得b=2.
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx.从而f′(x)=alnx.因为a≠0,故:
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得0<x<1; 
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1.
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx.
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
举一反三
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x
1
e
1
e
,  1
1(1,e)e
f′(x) -0+ 
f(x)2-
2
e
单调递减极小值1单调递增2
已知函数f(x)=-
1
3
x3+bx2-3a2x(a≠0)
在x=a处取得极值.
(Ⅰ)求
b
a

(Ⅱ)设函数g(x)=2x3-3af′(x)-6a3,如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围.
已知f(x)=2lnx+
ax
x+1
(x>0)

(1)若a=-8,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在定义域上有两个极值点x1,x2(x1≠x2),求证:f(x1)+f(x2)≥
f(x)+2
x
-2
函数y=x3-x2-x的单调增区间为______.
已知函数f(x)=(x2-a)ex,其中a≥3,e为自然对数的底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
己知f(x)=Inx-ax2-bx.
(Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点;
(Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),两点,AB中点为C(x0,0),求证:f′(x0)<0.