已知函数f(x)=(x2-a)ex,其中a≥3,e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
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已知函数f(x)=(x2-a)ex,其中a≥3,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. |
答案
(1)∵f(x)=(x2-a)ex,其中a≥3, ∴f′(x)=2xex+(x2-a)ex=(x2+2x-a)ex, 令f′(x)>0得,x<-1-或x>-1+, 令f′(x)<0得,-1-<x<-1+, 所以函数f(x)在(-∞,-1-)和(-1+,+∞)上递增,在(-1-,-1+)上递减; (2)由(1)知f(x)在(-∞,-1-)和(-1+,+∞)上递增,在(-1-,-1+)上递减, 又a≥3,所以-1+≥1,则f(x)在[0,1]上单调递减, 所以当x=0时f(x)取得最大值为-a; |
举一反三
己知f(x)=Inx-ax2-bx. (Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点; (Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),两点,AB中点为C(x0,0),求证:f′(x0)<0. |
已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f′(x),g(x)=f′(x)-ax-3. (1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间; (2)若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围; (3)若x•g′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax3+sinθx2-2x+c的图象经过点(1,),且在区间(-2,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. (1)证明sinθ=1; (2)求f(x)的解析式; (3)若对于任意的x1,x2∈[m,m+3](m≥0),不等式|f(x1)-f(x2)|≤恒成立,试问:这样的m是否存在,若存在,请求出m的范围;若不存在,说明理由. |
若函数g(x)=x3-ax2+1在区间[1,2]上是单调递减函数,则实数a的取值范围是______. |
设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值. |
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