已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f′(x),g(x)=f′(x)-ax-3.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对满足-1≤a≤1
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已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数为f′(x),g(x)=f′(x)-ax-3. (1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间; (2)若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围; (3)若x•g′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)当a=-2时,f′(x)=3x2-6.令f′(x)=0得x=±, 故当x<-或x>时f′(x)>0,f′(x)单调递增; 当-<x<时f′(x)<0,f(x)单调递减. 所以函数f′(x)的单调递增区间为(-∞,-],[,+∞);单调递减区间为(-,);
(2)因f′(x)=3a2+3a,故g(x)=3x2-ax+3a-3. 令g(x)=h(a)=a(3-x)+3x2-3,要使h(a)<0对满足-1≤a≤1的一切a成立, 则 | h(-1)=3x2+x-6<0 | h(1)=3x2-x<0 |
| | ,解得0<x<; 0<x<.
(3)因为g(x′)=6x-a, 所以X(6x-a)+lnx>0 即a<6x+=h(x)对一切x≥2恒成立.h′(x) =6+=, 令6x2+1-lnx=φ(x),φ′(x)=12x-. 因为x≥2,所以φ′(x)>0, 故φ(x)在[2,+∞)单调递增,有φ(x)≥φ(2)=25-ln2>0. 因此h′(x)>0,从而h (x)≥h (2)=12+. 所以a<hmin(x)=h (2)=12+. |
举一反三
已知函数f(x)=ax3+sinθx2-2x+c的图象经过点(1,),且在区间(-2,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. (1)证明sinθ=1; (2)求f(x)的解析式; (3)若对于任意的x1,x2∈[m,m+3](m≥0),不等式|f(x1)-f(x2)|≤恒成立,试问:这样的m是否存在,若存在,请求出m的范围;若不存在,说明理由. |
若函数g(x)=x3-ax2+1在区间[1,2]上是单调递减函数,则实数a的取值范围是______. |
设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值. |
已知函数f(x)=ln (ax+1)+,其中a>0. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围. |
若函数f(x)=x3-3x2+ax-5在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是______. |
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