(Ⅰ)f′(x)=k(lnx+1), 当x∈(0,),f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增. ①0<t<t+2<,t无解; ②0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f()=-; ③≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=ktlnt; 所以f(x)min=. (Ⅱ)kxlnx≥-x2+ax-(k+1),则a≤klnx+x+, 设h(x)=klnx+x+(x>0),则h′(x)=,x∈(0,1),h′(x)<0,h(x)单调递减,x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=k+2,因为对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=k+2; (Ⅲ)问题等价于证明xlnx>-(x∈(0,+∞)),由(1)可知,f(x)=kxlnx(x∈(0,+∞))(k>0)的最小值是-,当且仅当x=时取到,故lnx>-. 设m(x)=-(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易得m(x)max=m(1)=-, 当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立.① |