函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3-4

题型：不详难度：来源：

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式是f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的极值点有且只有1个；
③f（x）的最大值与最小值之和为0；
其中真命题的序号是______．

答案

函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有

3+2a+b=-1 3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可见f（x）=x³-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±

2 3

3

．因此②不正确；
所以f（x）在[-

2 3

3

，

2 3

3

]内递减，
且f（x）的极大值为f（-

2 3

3

）=

16 3

9

，极小值为f（

2 3

3

）=-

16 3

9

，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=

16 3

9

，最小值为m=-

16 3

9

，则M+m=0，因此③正确．
故答案为：①③．