已知a>0,函数f(x)=ln(2-x)+ax.(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;(2)求
题型:和平区三模难度:来源:
已知a>0,函数f(x)=ln(2-x)+ax. (1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l,若l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)求函数f(x)在[0,1]上的最小值. |
答案
(1)依题意有x<2,f′(x)=a+(1分) 过点(1,f(1))的直线斜率为a-1,所以过(1,a)点的直线方程为y-a=(a-1)(x-1)(2分) 又已知圆的圆心为(-1,0),半径为1 ∴=1,解得a=1(3分) (2)f′(x)==a[x-(2-)]• 当a>0时,2-<2(5分) 令f′(x)>0,解得x<2-,令f′(x)<0,解得2-<x<2 所以f(x)的增区间为(-∞,2-),减区间是(2-,2)(7分) (3)当2-≤0,即0<a≤时,f(x)在[0,1]上是减函数所以f(x)的最小值为f(1)=a(9分) 当0<2-<1即<a<1时f(x)在(0,2-)上是增函数,在(2-,1)是减函数所以需要比较f(0)=ln2和 f(1)=a两个值的大小(11分) 因为e<3<2<e,所以<ln<ln2<lne=1 ∴当<a<ln2时最小值为a,当ln2≤a<1时,最小值为ln2(12分) 当2-≥1,即a≥1时,f(x)在[0,1]上是增函数 所以最小值为ln2. 综上,当0<a<ln2时,f(x)为最小值为a 当a≥ln2时,f(x)的最小值为ln2(14分) |
举一反三
已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不为零的常数,且a∈R). (1)讨论函数F(x)=f(x)•g(x)的单调性; (2)当a=-1时,方程f(x)•g(x)=t在区间[-1,1]上有两个解,求实数t的取值范围. |
函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递减区间是( )A.[0,2] | B.(-∞,0] | C.(2,+∞) | D.[2,3] |
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设函数f(x)=ax3+bx2+cx(c<0),其图象在点A(1,0)处切线斜率为0,则f(x)的单调递增区间是______. |
已知函数f(x)=x2+(2a-1)x+a2lnx. (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a>0)在x=x1和x=x2处取得极值. (Ⅰ)若c=-a2,且|x1-x2|=2,求b的最大值; (Ⅱ)设g(x)=f′(x)+x,若0<x1<x2<,且x∈(0,x1),证明:x<g(x)<x1. |
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