已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0,a∈R)(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;(II)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<

已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0,a∈R)(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;(II)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<

题型:海淀区一模难度:来源:
已知函数f(x)=
1
x
+alnx(a≠0,a∈R)

(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;
(II)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
答案
(I)因为f′(x)=-
1
x2
+
a
x
=
ax-1
x2
,(2分)
当a=1,f′(x)=
x-1
x2

令f"(x)=0,得x=1,(3分)
又f(x)的定义域为(0,+∞),f"(x),f(x)随x的变化情况如下表:
解析
举一反三
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x(0,1)1(1,+∞)
f"(x)-0+
f(x)极小值
x(1,
1
a
)
1
a
(
1
a
,e)
f"(x)-0+
f(x)极小值
已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为______.
已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c=______.
下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(  )
A.y=sin2xB.y=xexC.y=x3-xD.y=ln(1+x)-x
已知函数y=x3-2x2+x+3,x∈[
2
3
,1]
,求此函数的
(1)单调区间;
(2)值域.
已知函数f(x)=ax-
a
x
-2lnx
(a≥0),若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围.