已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m．（I）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；（II）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与

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已知函数f（x）=-x²+8x，g（x）=6lnx+m．
（I）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（II）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（I）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
h（t）=f（t）=-t²+8t．
综上，h(t)=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

（II）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数m（x）=g（x）-f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x²-8x+6lnx+m，
∴ϕ′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
当x∈（0，1）时，m"（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，m"（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m"（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m"（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

ϕ(x)最大值=m-7＞0 ϕ(x)最小值=m+6ln3-15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）．