已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),f′(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;(Ⅱ)若f(
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已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),f′(x)为f(x)的导函数. (Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上均单调递增,求a的取值范围. |
答案
(I)∵f(x)=(x2-4)(x-a), ∴f′(x)=2x(x-a)+(x2-4) 又∵f′(-1)=-2×(-1-a)+(1-4)=0, ∴a= ∴f(x)=(x2-4)(x-), ∴f′(x)=2x(x-)+(x2-4)=3x2-x-4 令f′(x)=0, 解得x=-1,x=, 当x∈[-2,-1]时,f′(x)≤0恒成立,f(x)为减函数 当x∈[-1,4/3]时,f′(x)≥0恒成立,f(x)为增函数, 当x∈[4/3,2]时,f′(x)≤0恒成立,f(x)为减函数 又∵f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0 可以得到最大值为,最小值为- (II)∵f(x)=(x2-4)(x-a), ∴f′(x)=3x2-2ax-4, 依题意:f′(x)=3x2-2ax-4≥0对(-∞,-2]恒成立,即 2ax≤3x2-4 ∴a≥x- 又∵y=x-在(-∞,-2]上为增函数,故x=-2时,x-取最大值-2, 所以a≥-2 f′(x)=3x2-2ax-4≥0对[2,+∞)恒成立,即 2ax≤3x2-4 ∴a≤x- 又∵y=x-在[2,+∞)上为增函数,故x=2时,x-取最小值2, 所以a≤2 故a的取值范围为[-2,2]. |
举一反三
已知函数f(x)=xlnx (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)设函数f(x)的最小值为M,求与曲线y=f(x)相切且斜率为e•M(其中e为常数)的切线方程. |
如图是导函数y=f′(x)的图象,在标记的点中,函数有极小值的是( )A.x=x2 | B.x=x3 | C.x=x5 | D.x=x1或x=x4 |
![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018234013-84248.png) |
若函数f(x)的导数是f"(x)=-x(ax+1)(a<0),则函数f(x)的单调减区间是( )A.[,0] | B.(-∞,0],[,+∞) | C.[0,-] | D.(-∞,0],[-,+∞) |
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若函数f(x)的导函数f"(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是( )A.(-∞,2) | B.(-∞,1) | C.(1,3) | D.(0,2) |
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已知函数f(x)=ax+ex没有极值点,则实数a的取值范围是( ) |
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