已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1在x=1和x=2处取得极值.(1)求a和b的值;(2)求f(x)的单调区间.

已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1在x=1和x=2处取得极值.(1)求a和b的值;(2)求f(x)的单调区间.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1在x=1和x=2处取得极值.
(1)求a和b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
答案
(1)因为f"(x)=5x4+3ax2+b,…(2分)
由已知得:f"(1)=5+3a+b=0.f"(2)=24×5+22×3a+b=0,解得a=-
25
3
,b=20
. …(5分)
(2)由(1)知f"(x)=5x4+3ax2+b=5(x2-1)(x2-4)
=5(x+1)(x+2)(x-1)(x-2).…(7分)
当x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)时,f"(x)>0;
当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f"(x)<0.…(9分)
因此f(x)的单调增区间是(-∞,-2),(-1,1),(2,+∞),f(x)的单调减区间是(-2,-1),(1,2).  …(10分)
举一反三
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
题型:重庆难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则
S1
S2
为定值.
题型:福建难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x2-a)ex(e为自然对数的底数),g(x)=f(x)-b,其中曲线f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为-3.
(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设方程g(x)=0有且仅有一个实根,求实数b的取值范围.
题型:河南模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)

(1)若曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线L与C有且只有一个公共点,求m的值;
(2)求证:函数f(x)存在单调减区间[a,b],令t=b-a,求t的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=-
x
ex
(a<b<1),则(  )
A.f(a)=f(b)
B.f(a)<f(b)
C.f(a)>f(b)
D.f(a),f(b)大小关系不能确定
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