已知函数f（x）=x5+ax3+bx+1在x=1和x=2处取得极值．（1）求a和b的值；（2）求f（x）的单调区间．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x5+ax3+bx+1在x=1和x=2处取得极值．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的单调区间． |
答案
（1）因为f"（x）=5x4+3ax2+b，…（2分）
由已知得：f"（1）=5+3a+b=0．f"（2）=24×5+22×3a+b=0，解得a=-，b=20． …（5分）
（2）由（1）知f"（x）=5x4+3ax2+b=5（x2-1）（x2-4）
=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）．…（7分）
当x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）时，f"（x）＞0；
当x∈（-2，-1）∪（1，2）时，f"（x）＜0．…（9分）
因此f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间是（-2，-1），（1，2）． …（10分） |
举一反三
设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，0）上为增函数，求a的取值范围． |
已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值． |
已知函数f（x）=（x2-a）ex（e为自然对数的底数），g（x）=f（x）-b，其中曲线f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为-3．
（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设方程g（x）=0有且仅有一个实根，求实数b的取值范围． |
已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)
（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线L与C有且只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：函数f（x）存在单调减区间[a，b]，令t=b-a，求t的取值范围． |
函数f（x）=-（a＜b＜1），则（ ）| A．f（a）=f（b） | | B．f（a）＜f（b） | | C．f（a）＞f（b） | | D．f（a），f（b）大小关系不能确定 |
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