已知函数f(x)=13x3+12(a-1)x2+ax(a∈R)(1)若f(x)在x=2处取得极值,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间(0,1)内有
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已知函数f(x)=13x3+12(a-1)x2+ax(a∈R)(1)若f(x)在x=2处取得极值,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间(0,1)内有
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
1
3
x
3
+
1
2
(a-1)x
2
+ax(a∈R)
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值,求实数a的取值范围.
答案
f′(x)=x
2
+(a-1)x+a
(1)∵f(x)在x=2处取得极值
∴f′(2)=0
∴4+2(a-1)+a=0
∴
a=-
2
3
∴
f′(x)=
x
2
-
5
3
x-
2
3
=
(x+
1
3
)(x-2)
令f′(x)>0则
(x+
1
3
)(x-2)>0
∴
x>2或x<
1
3
∴函数f(x)的单调递增区间为
(-∞,-
1
3
), (2,+∞)
(2)∵f(x)在(0,1)内有极大值和极小值
∴f′(x)=0在(0,1)内有两不等根
对称轴
x=-
a-1
2
∴
△>0
0<-
a-1
2
<1
f′(0)>0
f′(1)>0
即
△=
(a-1)
2
-4a>0
-1<a<1
a>0
1+a-1+a>0
∴
0<a<3-2
2
举一反三
定义在R上的函数y=f(x),满足f(4-x)=f(x),(x-2)f′(x)<0,若x
1
<x
2
,且x
1
+x
2
>4,则有( )
A.f(x
1
)<f(x
2
)
B.f(x
1
)>f(x
2
)
C.f(x
1
)=f(x
2
)
D.不确定
题型:雅安三模
难度:
|
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函数f(x)=x
3
+3ax
2
+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的范围是______.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=acosx+sinx在
x=
π
4
处取得极值,则a=______.
题型:不详
难度:
|
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已知α,β是三次函数
f(x)=
1
3
x
3
+
1
2
a
x
2
+2bx
的两个极值点,且α∈(0,1),β∈(1,2),则
b-2
a-1
的取值范围是( )
A.
(
1
4
,1)
B.
(
1
2
,1)
C.
(-
1
2
,
1
4
)
D.
(-
1
2
,
1
2
)
题型:马鞍山模拟
难度:
|
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若函数f(x)=x
3
-12x在(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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