设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.(Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈[0,2],在x=0

设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.(Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈[0,2],在x=0

题型:不详难度:来源:
设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2
(Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.
答案

(Ⅰ)f"(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f"(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1.
经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.
(Ⅱ)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).
当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时,g(0)≥g(2),
即0≥20a-24.
故得a≤
6
5

反之,当a≤
6
5
时,对任意x∈[0,2],g(x)≤
6
5
x2(x+3)-3x(x+2)
=
3x
5
(2x2+x-10)
=
3x
5
(2x+5)(x-2)
≤0,
而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).
综上,a的取值范围为(-∞,
6
5
]
举一反三
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f(x)g′(x)>f′(x)g(x),且f(x)=axg(x)(a>0且a≠1,
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
,对于有穷数列
f(n)
g(n)
=(n=1,2,…0)
,任取正整数k(1≤k≤10),则前k项和大于
15 
16
的概率是(  )
A.
3
10
B.
2
5
C.
1
2
D.
3
5
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已知函数f(x)=ax2+lnx,f1(x)=
1
6
x2+
4
3
x+
5
9
lnx,f2(x)=
1
2
x2+2ax,a∈R

(1)求证:函数f(x)在点(e,f(e))处的切线横过定点,并求出定点的坐标;
(2)若f(x)<f2(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)当a=
2
3
时,求证:在区间(1,+∞)上,满足f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个.
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已知f(x)=x3-ax2-3x
(1)若f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最小值和最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex,a、b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点;
(Ⅰ)若a=0,求b的取值范围;
(Ⅱ) 当a是给定的实常数,设x1x2x3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列x1,x2,x3,x4(其中{i1,i2,i3}={1,2,3,4})依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由、
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=x-2sinx在(0,π)上的单调递减区间为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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