(1)因为f′(x)=2ax+,所以f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为k=2ae+, 所以f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2ae+)(x-e)+ae2+1, 整理得y-=(2ae+)(x-),所以切线恒过定点(,). (2)令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-)x2-2ax+lnx<0,对x∈(1,+∞)恒成立, 因为p′(x)=(2a-1)x-2a+==(*) 令p"(x)=0,得极值点x1=1,x2=, ①当<a<1时,有x2>x1=1,即<a<1时,在(x2,+∞)上有p"(x)>0, 此时p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意; ②当a≥1时,有x2<x1=1,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合题意; ③当a≤时,有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有p"(x)<0, 从而p(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 要使p(x)<0在此区间上恒成立,只须满足p(1)=-a-≤0⇒a≥-, 所以-≤a≤. 综上可知a的范围是[-,]. (3)当a=时,f1(x)=x2+x+lnx,f2(x)=x2+x 记y=f2(x)-f1(x)=x2-lnx,x∈(1,+∞). 因为y′=-=>0,所以y=f2(x)-f1(x)在(1,+∞)上为增函数, 所以f2(x)-f1(x)>f2(1)-f1(1)=,设R(x)=f1(x)+λ,(0<λ<1),则f1(x)<R(x)<f2(x), 所以在区间(1,+∞)上,满足f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个. |