已知f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值
题型：不详难度：来源：
已知f（x）=x3-ax2-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值． |
答案
（1）由题知，f"（x）=3x2-2ax-3，令f"（x）＞0（x≥2），得a＜(x-)．
记t(x)=(x-)，当x≥2时，t（x）是增函数，∴t(x)min=×(2-)=，∴a＜，又a=时，f′(x)=3x2-x-3=3(x-)2-在[2，+∞）上恒大于等于0，∴a=也符合题意，∴a≤．
（2）由题意，得f"（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4，∴f（x）=x3-4x2-3x，f"（x）=3x2-8x-3．
令f"（x）=0，得x1=-，x2=3，
又∵x∈[1，4]，∴x=-舍，故x=3，
当x∈（1，3），f"（x）＜0，∴f（x）在（1，3）上为减函数；
当x∈（3，4），f"（x）＞0，∴f（x）在（3，4）上为增函数，∴x=3时f（x）有极小值．
于是，当x∈[1，4]时，f（x）min=f（3）=-18，
而f（1）=-6，f（4）=-12，∴f（x）max=f（1）=-6． |
举一反三
设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ex，a、b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范围；
（Ⅱ） 当a是给定的实常数，设x1x2x3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列x1，x2，x3，x4（其中{i1，i2，i3}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4；若不存在，说明理由、 |
| 函数y=x-2sinx在（0，π）上的单调递减区间为______． |
已知函数y=x3+3px2+3px+1．
（1）试问该函数能否在x=-1处取到极值？若有可能，求实数p的值；否则说明理由；
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，求实数p的取值范围． |
| 已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b，当x=-1时函数f（x）的极值为-，则f（2）=______． |
| 函数f（x）=x3+ax-2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是 ______． |
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