设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex,a、b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点;(Ⅰ)若a=0,求b的取值范围;(Ⅱ) 当a是给定的实常数,设x1x2x
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex,a、b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点; (Ⅰ)若a=0,求b的取值范围; (Ⅱ) 当a是给定的实常数,设x1x2x3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列x1,x2,x3,x4(其中{i1,i2,i3}={1,2,3,4})依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由、 |
答案
(Ⅰ)a=0时,f(x)=x2(x+b)ex,∴f"(x)=[x2(x+b)]′ex+x2(x+b)(ex)′=exx[x2+(b+3)x+2b], 令g(x)=x2+(b+3)x+2b,∵△=(b+3)2-8b=(b-1)2+8>0,∴设x1<x2是g(x)=0的两个根, (1)当x1=0或x2=0时,则x=0不是极值点,不合题意; (2)当x1≠0且x2≠0时,由于x=0是f(x)的极大值点,故x1<0<x2.∴g(0)<0,即2b<0,∴b<0. (Ⅱ)f"(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a], 令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,则△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0, 于是,假设x1,x2是g(x)=0的两个实根,且x1<x2. 由(Ⅰ)可知,必有x1<a<x2,且x1、a、x2是f(x)的三个极值点, 则x1=,x2= 假设存在b及x4满足题意, (1)当x1,a,x2等差时,即x2-a=a-x1时, 则x4=2x2-a或x4=2x1-a, 于是2a=x1+x2=a-b-3,即b=-a-3. 此时x4=2x2-a=a-b-3+-a=a+2 或x4=2x1-a=a-b-3--a=a-2 (2)当x2-a≠a-x1时,则x2-a=2(a-x1)或(a-x1)=2(x2-a) ①若x2-a=2(a-x1),则x4=, 于是3a=2x1+x2=, 即=-3(a+b+3). 两边平方得(a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0,∵a+b+3<0,于是a+b-1=, 此时b=-a-, 此时x4===-b-3=a+. ②若(a-x1)=2(x2-a),则x4=, 于是3a=2x2+x1=, 即=3(a+b+3). 两边平方得(a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0,∵a+b+3>0,于是a+b-1=, 此时b=-a- 此时x4===-b-3=a+ 综上所述,存在b满足题意, 当b=-a-3时,x4=a±2, b=-a-时,x4=a+, b=-a-时,x4=a+. |
举一反三
函数y=x-2sinx在(0,π)上的单调递减区间为______. |
已知函数y=x3+3px2+3px+1. (1)试问该函数能否在x=-1处取到极值?若有可能,求实数p的值;否则说明理由; (2)若该函数在区间(-1,+∞)上为增函数,求实数p的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b,当x=-1时函数f(x)的极值为-,则f(2)=______. |
函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 ______. |
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与x轴相切于原点,若函数的极小值为-4. (1)求a,b,c,的值; (2)求函数f(x)的递减区间. |
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