已知函数y=x3+3px2+3px+1.(1)试问该函数能否在x=-1处取到极值?若有可能,求实数p的值;否则说明理由;(2)若该函数在区间(-1,+∞)上为增
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已知函数y=x3+3px2+3px+1. (1)试问该函数能否在x=-1处取到极值?若有可能,求实数p的值;否则说明理由; (2)若该函数在区间(-1,+∞)上为增函数,求实数p的取值范围. |
答案
(1)该函数不能在x=-1处取到极值,理由如下: 假设存在x=-1处取到极值,则此处导数为0, y=x3+3px2+3px+1,y"=3x2+6px+3p, 若该函数能在x=-1处取到极值,则y"|x=-1=3-6p+3p=0, 即p=1,此时,y"=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,函数为单调函数,这与 该函数能在x=-1处取到极值矛盾,则该函数不能在x=-1处取到极值. (2)若该函数在区间(-1,+∞)上为增函数, 则在区间(-1,+∞)上,y"=3x2+6px+3p≥0恒成立, ①⇒p=1; ②⇒0≤p<1, 综上可知,0≤p≤1.则p的取值范围是[0,1] |
举一反三
已知函数f(x)=x3+a2x2+ax+b,当x=-1时函数f(x)的极值为-,则f(2)=______. |
函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 ______. |
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与x轴相切于原点,若函数的极小值为-4. (1)求a,b,c,的值; (2)求函数f(x)的递减区间. |
若函数f(x)=x3-x2+ax-2在区间[,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围是______. |
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