已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;(2)求证:在(1)的

已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;(2)求证:在(1)的

题型:不详难度:来源:
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
lnx
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)因为f(x)=x-lnx,f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,所以当0<x<1时,f"(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
  当1<x≤e时,f"(x)>0,此时函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的极小值为f(1)=1.
(2)因为函数f(x)的极小值为1,即函数f(x)在(0,e]上的最小值为1.
g′(x)=
1-lnx
x2
,所以当0<x<e时,=g"(x)>0,此时g(x)单调递增.
所以g(x)的最大值为g(e)=
1
e
1
2
,所以f(x)min-g(x)max
1
2
,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],有最小值3,则f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x

①当a≤0时,f"(x)<0,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4
e
,(舍去),此时函数f(x)的最小值是不是3.
②当0
1
a
<e
时,f(x)在(0,
1
a
]上单调递减,f(x)在(
1
a
,e]上单调递增.
所以(x)min=f(
1
a
)=1+lna=3,a=e2
,满足条件.
③当
1
a
≥e
时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4
e
,(舍去),此时函数f(x)的最小值是不是3.
综上可知存在实数a=e2,使f(x)的最小值是3.
举一反三
已知a>0,函数f(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=
4x2-7
2-x
,是否存在实数a≥1,使得对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],满足f(x1)=g(x0)?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=x2ln|x|,
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解,求实数k的取值范围.
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已知n∈R,函数,f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围;
(3)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
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若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是(  )
A.[1,+∞)B.[1,
3
2
C.[1,2)D.[
3
2
,2)
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设函数f(x)=px-2lnx.
(1)若p>0,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-
p
x
在其定义域内为单调函数,求p的取值范围.
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