已知n∈R,函数,f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(-1,1
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已知n∈R,函数,f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围; (3)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=-(x2-2)ex 令f′(x)>0,得x2-2<0,∴-<x< ∴f(x)的单调递增区间是(-,); (Ⅱ)f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,若f(x)在(-1,1)内单调递增,即当-1<x<1时,f′(x)≥0, 即-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)恒成立, 即a≥x+1-对x∈(-1,1)恒成立, 令y=x+1-,则y′=1+>0 ∴y=x+1-在(-1,1)上单调递增,∴y<1+1-= ∴a≥ 当a=时,当且仅当x=0时,f′(x)=0 ∴a的取值范围是[,+∞). (3)假设f(x)是为R上的单调函数,则为R上的单调递增函数或单调递减函数 ①若f(x)是R上的单调递减函数,则f′(x)≤0对任意的x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对任意的x∈R都成立, 因为ex>0,所以-x2+(a-2)x+a≤0恒成立, 故由△=(a-2)2+4a≤0, 整理得a2+4≤0,显然不成立, 即f(x)不可能为R上的单调递减函数. ②若f(x)是R上的单调递增函数,则f′(x)≥0对任意的x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对任意的x∈R都成立, 因为ex>0,所以-x2+(a-2)x+a≥0恒成立, 而函数h(x)=-x2+(a-2)x+a的图象是开口向下的抛物线, 所以-x2+(a-2)x+a≥0是不能恒成立的, 所以f(x)不可能为R上的单调递增函数. 综上所述,f(x)是不可能为R上的单调函数. |
举一反三
若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )A.[1,+∞) | B.[1,) | C.[1,2) | D.[,2) |
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设函数f(x)=px-2lnx. (1)若p>0,求函数f(x)的最小值; (2)若函数g(x)=f(x)-在其定义域内为单调函数,求p的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n=______. |
已知f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2. (1)求y=f(x)的解析式; (2)求y=f(x)的单调递增区间. |
函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(-∞,2) | B.(0,3) | C.(1,4) | D.(2,+∞) |
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