已知a>0,函数f(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=4x2-72-x,是否存在实数a≥1,使得

已知a>0,函数f(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=4x2-72-x,是否存在实数a≥1,使得

题型:不详难度:来源:
已知a>0,函数f(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=
4x2-7
2-x
,是否存在实数a≥1,使得对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],满足f(x1)=g(x0)?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)f′(x)=3(x2-a2)=3(x-a)(x+a),
由f′(x)=0,得x1=a,x2=-a,
∴a>0,∴x1>x2
当0<a<1,x∈[0,1]时,由f′(x)≥0,得a≤x≤1,所以f(x)在[a,1]上为增函数,
由f′(x)≤0,得0≤x≤a,所以f(x)在[0,a]上为减函数.
当a≥1,x∈[0,1]时,由f′(x)≤0恒成立,所以f(x)在[0,1]上为减函数.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在[a,1]上为增函数,在[0,a]上为减函数.当a≥1时,f(x)在[0,1]上为减函数.
(2)设当x∈[0,1]时,f(x)的值域为A,g(x)的值域为B,若存在实数a≥1,则必有A⊆B,
当a≥1时,f(x)在[0,1]上为减函数,所以f(x)max=f(0)=-2a,f(x)min=f(1)=1-3a2-2a,即A=[1-3a2-2a,-2a],
又g′(x)=
-4x2+16x-7
(2-x)2
,令g′(x)>0得
1
2
<x<
7
2
,令g′(x)<0得x<
1
2
,或x>
7
2

所以g(x)min=f(
1
2
)=-4,又g(0)=-
7
2
,g(1)=-3,所以g(x)max=-3,从而B=[-4,-3],
由A⊆B得,





1-3a2-2a≥-4
-2a≤-3
,即





-
5
3
≤a≤1
a≥
3
2
,不等式无解,
所以不存在实数a≥1满足题意.
举一反三
已知函数f(x)=x2ln|x|,
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解,求实数k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知n∈R,函数,f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围;
(3)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是(  )
A.[1,+∞)B.[1,
3
2
C.[1,2)D.[
3
2
,2)
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=px-2lnx.
(1)若p>0,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-
p
x
在其定义域内为单调函数,求p的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n=______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.