已知函数f(x)=x2ln|x|,(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2ln|x|, (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解,求实数k的取值范围. |
答案
(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}. ∵f(-x)=(-x)2ln|-x|=x2ln|x|=f(x),∴函数f(x)为偶函数. (2)当x>0时,f(x)=x2lnx. ∴f′(x)=2xlnx+x2×=2x(lnx+), 令f′(x)=0,解得x=e-. 若0<x<e-,则f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x>e-,则f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 再由函数f(x)是偶函数,当x<0时的单调性如下: 函数f(x)的单调递增区间是(-e-,0);单调递减区间是(-∞,e-). 综上可知:函数f(x)的单调递增区间是(-e-,0),(e-,+∞); 单调递减区间是(0,e-),(-∞,e-). (3)由f(x)=kx-1,得xln|x|+=k, 令g(x)=xln|x|+. 当x>0时,g′(x)=lnx+1-=lnx+,可知g′(1)=0. 当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x>1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. ∴当x>0时,g(x)min=g(1)=1. 因此关于x的方程f(x)=kx-1在(0,+∞)上有实数解的k的取值范围是[1,+∞). |
举一反三
已知n∈R,函数,f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围; (3)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由. |
若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )A.[1,+∞) | B.[1,) | C.[1,2) | D.[,2) |
|
设函数f(x)=px-2lnx. (1)若p>0,求函数f(x)的最小值; (2)若函数g(x)=f(x)-在其定义域内为单调函数,求p的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n=______. |
已知f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2. (1)求y=f(x)的解析式; (2)求y=f(x)的单调递增区间. |
最新试题
热门考点