已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x

已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x

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已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.
(1)若f(x)=cosx,x∈[0,π],试写出f1(x),f2(x)的表达式;
(2)已知函数f(x)=x2,x∈[﹣1,4],试判断f(x)是否为[﹣1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k;如果不是,请说明理由;
(3)已知b>0,函数f(x)=﹣x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围.
答案
解:(Ⅰ)由题意可得:f1(x)=cosx,x∈[0,π],f2(x)=1,x∈[0,π].
(Ⅱ)

 当x∈[﹣1,0]时,1﹣x2≤k(x+1),∴k≥1﹣x,k≥2;
当x∈(0,1)时,1≤k(x+1),∴,∴k≥1;
当x∈[1,4]时,x2≤k(x+1),∴,∴
综上所述,∴
即存在k=4,使得f(x)是[﹣1,4]上的4阶收缩函数.
(Ⅲ)f"(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2),令f"(x)=0得x=0或x=2.

 函数f(x)的变化情况如下:
令f(x)=0,解得x=0或3.
(ⅰ)b≤2时,f(x)在[0,b]上单调递增,
因此,f2(x)=f(x)=﹣x3+3x2,f1(x)=f(0)=0.
因为f(x)=﹣x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,
所以,①f2(x)﹣f1(x)≤2(x﹣0)对x∈[0,b]恒成立;
②存在x∈[0,b],使得f2(x)﹣f1(x)>(x﹣0)成立.
①即:﹣x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,
由﹣x3+3x2≤2x,解得:0≤x≤1或x≥2,
要使﹣x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1.
②即:存在x∈[0,b],使得x(x2﹣3x+1)<0成立.
由x(x2﹣3x+1)<0得:x<0或
所以,需且只需
综合①②可得:
(ⅱ)当b>2时,显然有,由于f(x)在[0,2]上单调递增,
根据定义可得:
可得
此时,f2(x)﹣f1(x)≤2(x﹣0)不成立.
综合ⅰ)ⅱ)可得:
注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用只是因为简单而已.
举一反三
设函数
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)设,在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)当a≠0时,求f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=mx3﹣x在(﹣∞.∞)上是减函数,则m的取值范围是(    )
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已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x﹣1)为偶函数,集合A={x|f(x)=x}为单元素集合.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=[f(x)﹣m]ex,若函数g(x)在x∈[﹣3,2]上单调,求实数m的取值范围.
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已知函数
(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且
①若a1≥3,求证:an≥n+2;
②若a1=4,试比较的大小,并说明你的理由.
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