已知f(x)=x3+bx+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β.(1)求c的值;(2)求证
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已知f(x)=x3+bx+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为α,2,β. (1)求c的值; (2)求证f(1)≥2; (3)求|α﹣β|的取值范围. |
答案
解:(1)∵f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,在(0,2]上是减函数; ∴x=0是f"(x)=0的根, 又∵f"(x)=3x2+2bx+c, ∴f"(0)=0,∴c=0. (2)∵f(x)=0的根为α,2,β, ∴f(2)=0,∴8+4b+d=0, 又∵f"(2)≤0, ∴12+4b≤0,∴b≤﹣3, 又d=﹣8﹣4b ∴d≥4 f(1)=1+b+d,f(2)=0 ∴d=﹣8﹣4b且b≤﹣3, ∴f(1)=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2 (3)∵f(x)=0有三根α,2,β; ∴f(x)=(x﹣α)(x﹣2)(x﹣β) =x3﹣(α+β+2)·x2﹣2αβ ∴ ; ∴|β﹣α|2=(α+β)2﹣4αβ =(b+2)2+2d =b2+4b+4﹣16﹣8b =b2﹣4b﹣12 =(b﹣2)2﹣16 又∵b≤﹣3,∴|β﹣α|≥3 |
举一反三
函数f(x)=x3﹣ax+1在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 |
[ ] |
A.a<3 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3 |
设a>0,b>0,e是自然对数的底数 |
[ ] |
A. 若ea+2a=eb+3b,则a>b B. 若ea+2a=eb+3b,则a<b C. 若ea-2a=eb-3b,则a>b D. 若ea-2a=eb-3b,则a<b |
已知函数f(x)=x﹣klnx,常数k>0. (I)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间; (II)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围; (III)设函数F(x)=,求证: F(1)F(2)F(3)…F(2n)>2n(n+1)n(n∈N*). |
已知函数,g(x)=lnx. (Ⅰ)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数a>0,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. |
函数为f(x)的导函数,令 则下列关系正确的是 |
[ ] |
A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.f(|a|)>f(b) |
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