(Ⅰ)解:求导函数,可得, 因为x=1是函数f(x)的一个极值点,f"(1)=0, ∴k=1, 所以 令f"(x)>0,可得x∈(1,+∞)∪(﹣∞,0), 令f"(x)<0,可得x∈(0,1) 故函数F(x)的单调递增区间是(1,+∞),(﹣∞,0),单调递减区间是(0,1). (Ⅱ)解:因为函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数, 则g"(x)=2x﹣k(1+lnx)≥0对x∈(1,2)恒成立, 即对x∈(1,2)恒成立 令,则知对x∈(1,2)恒成立. 所以在x∈(1,2)单调递增, hmin(x)>h(1)=2 所以k≤2. (Ⅲ)证明:F(x)==, F(1)F(2)F(3)…F(2n)=()()…() 因为()()=++ >(2n﹣k)(k+1)+2=2n+2+2nk﹣k2﹣k=2n+2+k(2n﹣k﹣1)>2n+2. (k=0,1,2,3…n﹣1) 所以()()>2n+2,()()>2n+2,…, ()()>2n+2,()()>2n+2. 相乘,得:F(1)F(2)F(3)…F(2n)=()()…() >(2n+2)n=2n(n+1)n. |