设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

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设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）由f"（x）=ln（x+1）+1≥0得 ，
∴f（x）的增区间为 ，减区间为 ．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax．
“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”
g"（x）=ln（x+1）+1﹣a=0x=ea﹣1﹣1．
当x∈（﹣1，e^a﹣1﹣1）时，g"（x）＜0，g（x）为减函数．
当x∈（e^a﹣1﹣1，+∞）时，g"（x）＞0，g（x）为增函数．
“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立”“e^a﹣1﹣1≤0”，即e^a﹣1≤e⁰，即a﹣1≤0，即a≤1．
故a的取值范围是（﹣∞，1]．