在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1﹣2t,2+t)、R(﹣2t,2),其中t∈(0,+∞).(1)求矩形O
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在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1﹣2t,2+t)、R(﹣2t,2),其中t∈(0,+∞).(1)求矩形O
题型:江苏月考题
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在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1﹣2t,2+t)、R(﹣2t,2),其中t∈(0,+∞).
(1)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t);
(2)确定函数S(t)的单调区间,并加以证明.
答案
解:(1)当1﹣2t>0即0<t<
时,0<t<
时,点Q在第一象限,如图(1),
直线RQ的方程为y=t(x+2t)+2,它与y轴的交点T(0,2+2t
2
),
故△ORT的面积S=
×2t×(2+2t
2
)=2t×(1+t
2
)
可得矩形在第一象限内的部分面积为S(t)=2+2t
2
﹣2t×(1+t
2
)=2[1﹣t×(1+t+t
2
)]
当﹣2t+1≤0,即t≥
时,如图(2),点Q在y轴上或第二象限,S(t)为△OPT的面积,
直线PQ的方程为y=﹣
+t+
,
令x=0得y=t+
,故点T的坐标为(0,t+
),
故S(t)=S
△OPT
=
=
综上知S(t)=
(2)S(t)在区间(0,
)与(
,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数,证明如下
下用导数法证明:由于S"(t)=
验证知当在区间(0,
)与(
,1)上S"(t)<0,在(1,+∞)上S"(t)>0
故得S(t)在区间(0,
)与(
,1)上是减函数,在(1,+∞)是增函数
举一反三
已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x
2
﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令
.
(1)求g(x)的表达式;
(2)若
x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)﹣(m+1)x,证明:对
x
1
,x
2
∈[1,m],恒有|H(x
1
)﹣H(x
2
)|<1.
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若函数f(x)的导函数为f′(x)=x
2
﹣4x+3,则函数f(x﹣1)的单调递减区间为( )
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已知:三次函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,在(﹣∞,﹣1),(2,+∞)上单调增,在
(﹣1,2)上单调减,当且仅当x>4时,f(x)>x
2
﹣4x+5.
(1)求函数f (x)的解析式;
(2)若函数
,求h(x)的单调区间
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已知函数f(x)=x
2
﹣(1+2a)x+alnx(a为常数).
(1)当a=﹣1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
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已知函数f(x)=e
x
g(x),其中g(x)=ax
2
﹣2x﹣2.
(1)若存在x∈R,使得g(x)>0成立,求实数a的取值范围;
(2)求函数y=f(|sinx|)的值域.
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