设函数f(x)=ex﹣e﹣x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f"(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
题型:陕西省期末题难度:来源:
设函数f(x)=ex﹣e﹣x (Ⅰ)证明:f(x)的导数f"(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围. |
答案
解:(Ⅰ)f(x)的导数f"(x)=ex+e﹣x. 由于, 故f"(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立). (Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g"(x)=f"(x)﹣a=ex+e﹣x﹣a, (i)若a≤2,当x>0时,g"(x)=ex+e﹣x﹣a>2﹣a≥0, 故g(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax. (ii)若a>2,方程g"(x)=0的正根为, 此时,若x∈(0,x1),则g"(x)<0, 故g(x)在该区间为减函数. 所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾. 综上, 满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2]. |
举一反三
已知函数f(x)=. (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间. |
若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是 |
[ ] |
A.(,+∞) B.(﹣∞,] C.[,+∞) D.(﹣∞,) |
函数f(x)=2x3+3x2﹣12x+1的增区间是( ) |
已知函数f(x)=lnx, (I)若a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (II)在(I)的结论下,设φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值; (III)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由. |
若函数f(x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是 |
[ ] |
A.[1,+∞) B. C.[1,2) D. |
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