已知函数f(x)=.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.

已知函数f(x)=.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.

题型:北京期末题难度:来源:
已知函数f(x)=
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.
答案
解:(I)当a=1时,f(x)=,x∈(0,+∞),
所以f "(x)=x+1+
因此,f "(1)=3,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,
又f(1)=,故y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣=3(x﹣1),
所以曲线,即3x﹣y﹣=0;
(Ⅱ)因为 =,x∈(0,+∞),
令g(x)=x2+(2a﹣1)x+a2,x∈(0,+∞),
(1)当时,g(x)≥0在区间(0,+∞)恒成立,
故当时,f ’(x)≥0在区间(0,+∞)恒成立,
所以,当时,f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数;
(2)当时,由g(x)=0,得
故f(x)=0的两个根为
①由f "(x)<0,得x1<x<x2,故函数的单调递减区间为(x1,x2);
②由f "(x)>0,得0<x<x1,或x>x2
故函数的单调递增区间为(0,x1)和(x2,+∞);
故当时,函数的单调增区间为(0,)和(,+∞);函数的单调递减区间为(
综上所述:当时,f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数;
时,函数的单调增区间为(0,)和(,+∞);
函数的单调递减区间为(
举一反三
若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是[     ]
A.(,+∞)  
B.(﹣∞,]
C.[,+∞)  
D.(﹣∞,
题型:福建省期末题难度:| 查看答案
函数f(x)=2x3+3x2﹣12x+1的增区间是(    )
题型:陕西省期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx,
(I)若a=﹣2时,函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(II)在(I)的结论下,设φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值;
(III)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
题型:北京期中题难度:| 查看答案
若函数f(x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是  [     ]
A.[1,+∞)  
B.
C.[1,2)  
D.
题型:北京期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(Ⅰ)求 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设 g(x)= x2﹣2x,若对任意 x1 ∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得 f(x1)<     g(x2 ),求a的取值范围.
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