已知函数f（x）=﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）求 f（x）的单调区间；（Ⅱ）设 g（x）= x2﹣2x，若对任意 x1 ∈（0，2]，均存在x2

题型：北京期中题难度：来源：

已知函数f（x）=﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设 g（x）= x²﹣2x，若对任意 x₁ ∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得 f（x₁）＜     g（x₂ ），求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），=
当a=0时，单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
当时，单调减区间为（2，），单调增区间为（﹣∞，2），（；
当时，单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0或时，单调减区间为（﹣∞，），（2，+∞）；单调增区间为；
（Ⅱ） 由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
由（Ⅰ）知当a=0时，不成立；
当a＞0时，f（x）_max =f（2）=﹣2a﹣2+2ln2，
所以 a＞﹣1+ln2