解(Ⅰ)①∵,∴ ∵xf "(x)>f(x),∴g "(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 从而有在(0,+∞)上是增函数. ②由①知在(0,+∞)上是增函数, 当x1>0,x2>0时,有, 于是有:, 两式相加得:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2) (Ⅱ)由(Ⅰ)②可知:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2),(x1>0,x2>0)恒成立 由数学归纳法可知:xi>0(i=1,2,3,…,n)时, 有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立 设f(x)=xlnx,则xi>0(i=1,2,3,…,n)时, x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2)(*)恒成立 令,记 又, 又,且ln(x+1)<x ∴(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1﹣) <﹣(x1+x2+…+xn)<﹣(﹣)=﹣ (**) 将(**)代入(*)中,可知:﹣() 于是 |