已知a ∈R,函数f(x)= +lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数),(1)判断函数f(x)在(0,e]上的单调性;(2)是否
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已知a ∈R,函数f(x)= +lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数),(1)判断函数f(x)在(0,e]上的单调性;(2)是否
题型:湖北省模拟题
难度:
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已知a ∈R,函数f(x)=
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e
x
+x(其中e为自然对数的底数),
(1)判断函数f(x)在(0,e]上的单调性;
(2)是否存在实数x
0
∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x
0
处的切线与y轴垂直? 若存在,求出x
0
的值;若不存在,请说明理由;
(3)若实数m,n满足m>0,n>0,求证:
。
答案
解:(1 )∵
,
,
∴
,
①若
,则
,
在
上单调递增;
②若
,当
时,
,函数
在区间
上单调递减;
当
时,
,函数
在区间
上单调递增;
③若
,则
,函数
在区间
上单调递减。
(2)解:∵
,
,
,
由(1)易知,当
时,
在
上的最小值:
,
即
时,
,
又
,∴
,
曲线
在点
处的切线与
轴垂直等价于方程
有实数解,
而
,即方程
无实数解,
故不存在。
(3)证明:
,
由(2)知
,
令
得
。
举一反三
已知函数f(x)=2ax+
+lnx,
(1)若函数f(x)在x=1,
处取得极值,求a,b的值;
(2)若f′(1)=2,函数f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围。
题型:新疆自治区模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=e
x
,
(Ⅰ)若函数φ(x)= f(x)-
,求函数φ(x)的单调区间;
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x
0
,f(x
0
))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x
0
,使得直线l与曲线y=g(x)相切。
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=
ax
2
-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x
2
-2x,若对任意x
1
∈(0,2],均存在x
2
∈(0,2],使得f(x
1
)<g(x
2
),求a的取值范围。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=
ax
2
-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=ln
-ax
2
+x(a>0),
(1)若f(x)是定义域上的单调函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)在定义域上有两个极值点x
1
、x
2
,证明:f(x
1
)+f(x
2
)>3-2ln2。
题型:海南省模拟题
难度:
|
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