已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,(Ⅰ)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1+x2+x3=,x1x3=-12,且a>0,求函数f(x)的单调区
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,(Ⅰ)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1+x2+x3=,x1x3=-12,且a>0,求函数f(x)的单调区
题型:天津月考题
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来源:
已知函数f(x)=
ax
3
+
bx
2
+cx,
(Ⅰ)若函数f(x)有三个零点x
1
,x
2
,x
3
,且x
1
+x
2
+x
3
=
,x
1
x
3
=-12,且a>0,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f′(1)=
a,3a>2c>2b,试问:导函数f′(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若导数f′(x)的两个零点之间的距离不小于
,求
的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)
,
∴
,
x
1
与x
3
是方程
的两根,
,
由(1)、(2)可知:
,
,
;
(Ⅱ)
,
∴
,
∴
,
,
,
①当c>0时,f′(0)>0,f′(1)<0,
∴f′(x)在(0,1)内至少有一个零点;
②当c≤0时,f′(2)>0,f′(1)<0,
∴f′(x)在(1,2)内至少有一个零点;
综上f′(x)在(0,2)内至少有一个零点;
(Ⅲ)设m、n是导函数f′(x)=ax
2
+bx+c的两个零点,
,
;
另一方面:2c=-3a-2b且3a>2c>2b,
∴3a>-3a-2b>2b,
∴
,
∴
;
综上,
。
举一反三
函数y=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象如图所示,则
[ ]
A.a>0,b>0,c>0
B.a>0,b>0,c<0
C.a<0,b<0,c>0
D.a<0,b<0,c<0
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已知函数f(x)=x
2
-2elnx,求函数f(x)的单调区间和最值。
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已知函数f(x)=x
3
+3bx
2
+cx+d在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为-b,
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:f(x)=0还有不同于-b的实根x
1
、x
2
,且x
1
、-b、x
2
成等差数列;
(Ⅲ)若函数f(x)的极大值小于16,求f(1)的取值范围。
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=
(a>0),设h(x)=f(x)+g(x),
(Ⅰ)求h(x)的单调区间;
(Ⅱ)若在y=h(x)在x∈(0,3]的图象上存在一点P(x
0
,y
0
),使得以P(x
0
,y
0
)为切点的切线的斜率k≥
成立,求实数a的最大值。
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函数f(x)=(x
2
-3)e
3-x
的单调增区间是( )。
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