设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R。(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2a
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设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R。 (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1。 |
答案
解:(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f"(x)=ex-2,x∈R 令f"(x)=0,得x=ln2 于是,当x变化时,f"(x)和f(x)的变化情况如下表: 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞) f(x)在x=ln2处取得极小值 极小值为f(ln2)=2-2ln2+2a。 (2)证明:设g(x)=ex-x2+20ax-1,x∈R, 于是g"(x)=ex-2x+2a.x∈R 由(1)知当a>ln2-1时,g"(x)取最小值为g"(ln2)= 2(1-ln2+a)>0 于是对任意x∈R,都有g"(x)>0, 所以g(x)在R内单调递增, 于是,当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0),而g(0)=0 从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1。 |
举一反三
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