解:(Ⅰ)f(x)在其定义域为(0,+∞),f′(x)=, 要使f(x)为单调增函数,须f′(x)≥0恒成立, 即px2-2x+p≥0恒成立,即恒成立, 又, 所以当p≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数; 要使f(x)为单调减函数,须f′(x)≤0恒成立, 即px2-2x+p≤0恒成立,即恒成立, 又, 所以当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数; 综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p的取值范围为p≥1或p≤0。 (Ⅱ)因在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e], ①当p≤0时,由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]上递减f(x)max=f(1)=0<2,不合题意; ②当p≥1时,由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]上递增,f(1)<2, 又g(x)在[1,e]上为减函数, 故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e], 即; ③当0<p<1时,因,x∈[1,e], 所以不合题意; 综上,p的取值范围为。 |